A shape’s dimension is how many numbers its address needs次元は、場所を言うのに要る数の個数

The paper this series follows uses the word “dimension” all the time. Its space X has n dimensions, and a family of moving curves can have many more. No one can picture that many directions, so the paper counts something else.

A shape’s dimension is how many numbers you need to say where a point is on it. A curve drawn on paper needs one: how far along the curve you are. So the curve is 1-dimensional, even though the paper is 2-dimensional. The bowl z = x² + y² sits in 3-dimensional space. But once you choose x and y, z is fixed. Its address needs two numbers, so the bowl is 2-dimensional.

You can also count from outside. Start with the whole space and add equations. Each equation lowers the dimension by at most one.

In 3-dimensional space, z = x² + y² leaves the bowl: 3 − 1 = 2. Adding x = 0.5 leaves a curve on the bowl: 3 − 2 = 1. Adding y = 0 leaves one point, (0.5, 0, 0.25): 3 − 3 = 0. So naming one point in 3-dimensional space takes three equations. In n-dimensional space it takes n. Part 4 uses this to show what pinning a curve at a point costs.

“At most” matters. z = x² + y² and 2z = 2x² + 2y² are two equations, but the second only doubles the first. The bowl stays 2-dimensional. So equations give a lower bound: a shape has at least (the space’s dimension − the number of equations) dimensions. That’s why the paper says a family of curves has “at least” so many dimensions.

This bound needs complex numbers. Over the real numbers, x² + y² + z² = 0 has one solution, (0, 0, 0). One equation took away all three dimensions. Over the complex numbers, where i² = −1, (1, i, 0) is a solution too, and all the solutions together form a 2-dimensional shape, as the bound says. The paper works with complex numbers and number systems like them. There, the bound always holds as long as some points are left.

このシリーズで読む論文には、「次元」という言葉が何度も出てきます。空間 X は n 次元です。動く曲線の集まりは、もっと大きな次元になることもあります。そんなにたくさんの向きは、目では見えません。そこで論文は、別のものを数えています。

図形の次元は、図形の上の点の場所を言うのに要る数の個数です。紙に描いた曲線なら、数は 1 つで足ります。曲線に沿って、どれだけ進んだかです。だから曲線は 1 次元です。紙は 2 次元でも、曲線は 1 次元です。お椀の形の面 z = x² + y² は、3 次元の空間にあります。でも x と y を決めると、z も決まります。場所を言うのに要る数は 2 つなので、このお椀は 2 次元です。

外から数えることもできます。空間全体から始めて、式を 1 本ずつ足していきます。式を 1 本足すごとに、次元は多くても 1 つ下がります。

3 次元の空間で、z = x² + y² を満たす点だけを残すと、お椀になります。3 − 1 = 2 です。x = 0.5 を足すと、お椀の上の曲線が残ります。3 − 2 = 1 です。y = 0 も足すと、点 (0.5, 0, 0.25) が 1 つだけ残ります。3 − 3 = 0 です。つまり、3 次元の空間で 1 点を言い当てるには、式が 3 本要ります。n 次元なら n 本です。第 4 回では、これを使って、曲線を 1 点で留めると何が減るかを見ます。

「多くても」が大事です。z = x² + y² と 2z = 2x² + 2y² は 2 本の式です。でも 2 本目は、1 本目を 2 倍しただけです。お椀は 2 次元のままです。だから、式の本数からわかるのは下限です。図形の次元は、少なくとも「空間の次元 − 式の本数」です。論文が曲線の集まりの次元を「少なくとも」と書くのは、このためです。

ただし、この下限は複素数で考えたときの話です。実数では、x² + y² + z² = 0 を満たす点は (0, 0, 0) だけです。式 1 本で、3 つの次元が全部なくなりました。複素数には、i² = −1 となる数 i があります。すると (1, i, 0) も式を満たします。満たす点を全部集めると 2 次元の図形になり、下限のとおりです。論文は、複素数や、それに似た数で考えています。そこでは、点が 1 つでも残っていれば、この下限が必ず成り立ちます。