saimas が学んで面白いと思ったことと、つくっているアプリ・電子工作のノート。英語と日本語で。https://saimas.jpjahttps://saimas.jp/notes/spotting-projective-space/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/spotting-projective-space/?lang=ja2026 年の論文は新しい上限を使い、押しつぶす向きの長さが n を超えれば、空間は射影空間だと示しました。 ひとことで: 長さは n + 1 を超えられず、n を超えられるのは射影空間だけです。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/extremal-ray-length/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/extremal-ray-length/?lang=ja新しい定理で、空間を押しつぶす向きの長さの上限が、2n から n + 1 に下がります。 ひとことで: 宮岡・森の定数 2n を使っていた証明は、新しい定理で n + 1 にできます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/n-plus-one-is-optimal/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/n-plus-one-is-optimal/?lang=ja射影空間の直線から定理を使うと、上限がちょうど 1 になります。だから n + 1 より小さい定数は成り立ちません。 ひとことで: ある例がぴったり当てはまる上限は、それ以上良くできません。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/hyperboloid-made-of-lines/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/hyperboloid-made-of-lines/?lang=ja神戸ポートタワーの輪 1 本の数字を定理に入れると、塔のどの点にもまっすぐな線が通ると分かります。 ひとことで: 上限が 2 を下回れば、当てはまるのは大きさ 1 の曲線、つまり直線だけです。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/n-plus-one-per-pin/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/n-plus-one-per-pin/?lang=jaピンの点を空間に留めるのに n 本、印を壁に乗せておくのに 1 本。ピン 1 本で n + 1 本で、これが定理の n + 1 です。 ひとことで: 族のつまみの本数を n + 1 で割ると、打てるピンの本数が分かります。これが定理の n + 1 です。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/bubble-at-the-pin/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/bubble-at-the-pin/?lang=ja決めたピンで曲線を折るには、ピンの隣に印をつけ、印を壁に乗せたまま、ピンに寄せていきます。 ひとことで: 決めたピンで折りたいなら、ピンを通らない壁に印を乗せたまま、印をピンに寄せます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/broken-piece-is-sphere/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/broken-piece-is-sphere/?lang=ja森の Bend-and-Break によると、留めて動かし続けた曲線は必ず折れ、ちぎれるかけらはいつも有理曲線、つまり球です。 ひとことで: 有理曲線を探すなら、曲線をピンで留めて、折れるまで動かします。ちぎれたかけらは有理曲線です。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/pinned-circle-snaps/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/pinned-circle-snaps/?lang=ja塔の面で、2 点をピンで留めた輪を傾けていくと、輪は横に伸び、やがてピンを 1 本ずつ通る 2 本の直線に折れます。 ひとことで: 曲線を動かす前に、ピンで留めます。滑って逃げられない曲線は、折れるしかありません。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/frobenius-keeps-holes/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/frobenius-keeps-holes/?lang=ja標数 p の世界では、フロベニウス写像で曲線を p 回巻きつけても穴が増えません。だから、つまみはいくらでも増やせます。 ひとことで: 穴がじゃまなら、数の世界を取り替えます。標数 p では、巻きつけても穴が増えません。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/wrapping-adds-holes/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/wrapping-adds-holes/?lang=ja曲線を k 回巻きつけると −K·C は k 倍になります。でも複素数では穴も同じ勢いで増え、保証されるつまみは k 倍にしかなりません。 ひとことで: 複素数では、曲線を巻きつけても、負のつまみの見積もりは正になりません。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/holes-cost-knobs/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/holes-cost-knobs/?lang=ja論文は曲線のつまみを −K·C + n(1 − g) という 1 つの式で見積もります。穴 1 つで、ピン 1 本ぶんのつまみが減ります。 ひとことで: 曲線の穴は、1 つにつき n 本のつまみを減らします。ピン 1 本と同じです。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/curve-size-is-crossings/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/curve-size-is-crossings/?lang=ja論文は曲線を、長さではなく、平らなものさしと交わる回数で測ります。いつも同じ答えになるように数えます。 ひとことで: 曲線は、平らなものさしと交わる回数で測ります。見えない交点も数えます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/complex-circle-is-sphere/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/complex-circle-is-sphere/?lang=ja複素数 1 つは実数 2 つぶんなので、曲線は面に見えます。円に無限の遠くの点を 1 つ足すと、球になります。 ひとことで: 穴のない曲線は、形を変えた球です。それが有理曲線です。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/pin-costs-n-knobs/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/pin-costs-n-knobs/?lang=ja曲線を決まった場所に通すには、座標 1 つにつき式が 1 本要ります。だから n 次元では、ピン 1 本でつまみが n 本へります。 ひとことで: ピン 1 本で、空間の次元と同じ本数のつまみが使われます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/a-curve-is-a-point/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/a-curve-is-a-point/?lang=ja円は 3 つの数で決まります。だから円を全部集めると 3 次元の空間になり、円 1 つはその 1 点です。 ひとことで: 曲線がどれだけ自由に動けるかは、その曲線を決める数の個数で数えます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/dimension-is-address-count/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/dimension-is-address-count/?lang=ja次元は、点の場所を言うのに要る数の個数です。だから、目に見えない図形の次元も数えられます。 ひとことで: 次元は、見える向きの数ではなく、点の場所を言うのに要る数の個数で数えます。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/curved-tower-straight-rods/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/curved-tower-straight-rods/?lang=ja曲がった面がまっすぐな線だけでできていることを、1 本の曲線から見抜く 2025 年の論文の話です。 ひとことで: まっすぐな線が面に収まるかどうかは、見た目ではなく、面の式で決まります。Sun, 11 Oct 2026 00:00:00 GMThttps://saimas.jp/notes/resistor-at-1ghz/?lang=jahttps://saimas.jp/notes/resistor-at-1ghz/?lang=jaとても単純な部品の抵抗器も、高い周波数では働きが変わります。 ひとことで: 部品が回路記号どおりに働くのは、低い周波数のときだけです。Tue, 29 Sep 2026 00:00:00 GMT